República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental De
La Fuerza Armada
UNEFA
Extensión Ciudad Bolívar
Ing. Civil 5to Semestre Sección 01
Bachilleres:
Meza
Nahara
Páez
Jesús
El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente: "Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados" Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3
Este teorema también puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad del punto Q (centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al sólido 2 y como perteneciente al sólido 3:
1) Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).
2) Determinar los inmediatos por simple inspección.
3) Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.
Al disponer de 4 eslabones, el número de centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura) y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente conocidos o inmediatos. Los polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez construida la figura.
Todos los centros instantáneos localizados en primera instancia se han detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y C y B, por otra.
Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.
Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:
1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:
a) El punto de velocidad conocida.
b) El punto de velocidad desconocida.
c) El eslabón de referencia o barra fija.
2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy.
3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.
4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.
Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y configurarán la curva polar.
Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la figura 3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
Uno de los medios más eficaces y rápidos para el análisis de las velocidades de un mecanismo lo ofrece el polígono de velocidades. Además, como se verá en el siguiente capítulo, este método proporciona datos fundamentales para el análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas.
La construcción de velocidades de forma gráfica realmente se funda en la ecuación vectorial
VX = VA + VXA (3.14)
donde Vx es la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabón al que pertenece X y por último, VXA es la velocidad relativa de X con respecto a A. como quiera que la velocidad relativa Vxa es normal a la recta XA, el trazado de los polígonos de velocidades se realizará por aplicación de las propiedades descritas.
En la figura 3.10 puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, así como las velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB.
a) Cálculo de VC, VCB, ω2 y ω3. La ecuación se escribirá para este caso mediante
VC = VB + VCB (3.15)
Por un punto O cualquiera se lleva el vector VB y por su extremo se traza una perpendicular a BC (dirección del vector VCB) y por O una recta normal a CD (dirección de VC). Estas rectas se cortan cerrando el triángulo de los vectores implicados en la ecuación (3.15), determinándose VC y VCB.
La velocidad angular ω2 se obtiene por aplicación de la expresión
Centro
Instantáneo de Rotación
El centro instantáneo de rotación (CIR) (o polo de velocidades) y el eje instantáneo de rotación (EIR) son conceptos cinematicos y geométricos fundamentales en la mecánica del sólidos. En dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano, sólo está definido en polo de velocidades o CIR, mientras que en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la noción ligeramente más complicada de eje instantáneo de rotación.
En cada instante el eje instantáneo de rotación (cuando está definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotación alrededor del mismo más una posible traslación paralela al mismo.
El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano.
Además, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición).
El centro instantáneo de rotación, referido
al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su
prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.
• Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es
el centro instantáneo de rotación.
•
Si el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se
mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro
instantáneo de rotación). Su posición se puede conocer en cada instante por
intersección de las direcions perpendiculares a la velocidad de dos de sus
puntos.
•
Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se
encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.
A los pares cinemáticas de rotación y a los
pares prismáticos se les denomina centros de rotación instantáneos directos por
ser rápidamente identificables. En cambio, cuando el movimiento relativo entre
eslabones es más complejo, por ejemplo el que se produce entre los eslabones 3
y 1 del anterior mecanismo, la determinación del centro de rotación instantáneo
entre ambos no es directa y es necesario utilizar el teorema de los tres
centros (o de Kennedy).
Centro instantáneo de rotación relativo.
El
centro instantáneo de rotación relativa o polo común entre dos sólidos rígidos,
referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los
dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual
para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad
relativa entre ambos sólidos.
El centro instantáneo de rotación de un sólido rígido es un caso particular de
centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el
eslabón fijo (suelo). Si
los dos sólidos rígidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro
instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. Así, por ejemplo, en la
siguiente figura el punto A es el centro instantáneo de rotación relativo entre
las barras 2 y 3, B, el correspondiente a las barras 3 y 4, y O2 el del eslabón
fijo (suelo) y la barra 2. En este caso, O2 es el centro instantáneo de
rotación de la barra 2. Es decir, la barra 2 tiene un movimiento de rotación
pura alrededor del punto de unión de dicha barra con el eslabón fijo.
A los pares cinemáticas de rotación y a los pares prismáticos se les denomina
centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identificables.
En cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más complejo, por
ejemplo el que se produce entre los eslabones 3 y 1 del anterior mecanismo, la
determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa y es
necesario utilizar el teorema de los tres centros (o de Kennedy).
El centro instantáneo de rotación, referido al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.• Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotacion
de un sólido rígido es un caso particular de
centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el
eslabón fijo (suelo).
A los pares cinemáticas de rotación y a los pares prismáticos se les denomina
centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identificables.
En cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más complejo, por
ejemplo el que se produce entre los eslabones 3 y 1 del anterior mecanismo, la
determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa y es
necesario utilizar el teorema de los tres centros (o de Kennedy).
Cuando
existe un par prismático entre dos sólidos rígidos, el centro instantáneo de
rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular común
a la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado
infinitamente lejos en la dirección definida por dicha perpendicular. En la
siguiente figura se muestra un ejemplo de par prismático (entre la deslizadera
y el eslabón fijo del mecanismo biela-manivela).
• Si el cuerpo
realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en
el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.
• Si el cuerpo
realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se mueve
respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro
instantáneo de rotación). Su posición se puede conocer en cada instante por
intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus
puntos.
Centro instantáneo
de rotación relativo.
El centro
instantáneo de rotación relativa o polo común entre dos sólidos rígidos,
referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los
dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual
para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad
relativa entre ambos sólidos.
Si los dos sólidos rígidos están
articulados en un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación
relativo entre dichos sólidos. Así, por ejemplo, en la siguiente figura el
punto A es el centro instantáneo de rotación relativo entre las barras 2 y 3,
B, el correspondiente a las barras 3 y 4, y O2 el del eslabón fijo (suelo) y la
barra 2. En este caso, O2 es el centro instantáneo de rotación de la barra 2.
Es decir, la barra 2 tiene un movimiento de rotación pura alrededor del punto
de unión de dicha barra con el eslabón fijo.
Cccuando existe un
par prismático entre dos sólidos rígidos, el centro instantáneo de rotación
relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular común a la
dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado
infinitamente lejos en la dirección definida por dicha perpendicular. En la
siguiente figura se muestra un ejemplo de par prismático (entre la deslizadera
y el eslabón fijo del mecanismo biela-manivela).
Teorema de los tres centros
El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente: "Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados" Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3). Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3
Este teorema también puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad del punto Q (centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al sólido 2 y como perteneciente al sólido 3:
Esta última igualdad sólo es posible si los dos
vectores de posición del punto Q (respecto a los centros de rotación O2 y O3)
tienen la misma dirección. Y, por lo tanto, los tres centros instantáneos de
rotación relativos (O2, O3 y Q) han de estar alineados.
VB = ω1r1 (3.6)
y que será perpendicular al eslabón AB. Esta velocidad puede descomponerse en V’BC y V“BC, de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del acoplador BC (eslabón 2) y normal a éste. Es decir:
VB = V’BC + V“BC (3.7)
Como el punto B pertenece también al eslabón 2, que al igual que los restantes es rígido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma componente de la velocidad según la dirección BC. En particular, el punto C gozará de tal propiedad. Ahora bien, el punto C también pertenece al eslabón 3 y ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevando V’CB = V’BC y trazando por el extremo de V’CB una perpendicular a BC, se obtiene VC.
La determinación de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse de forma parecida. Descompóngase VB en dos componentes: una de la dirección BE y la otra normal a ella. La componente V ’BE se traslada a E, ya que V’EB = V’BE, por ser BE indeformable (el mismo eslabón ).
De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente V’CE paralela a la dirección CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE, se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los extremos de los vectores V’EC y V’EB, respectivamente a EC y EB.
Según las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC).
Aislando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente VB y VC se transporta a C el vector VB. Como la proyección sobre BC de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación VBC, se tiene
VBC = VB – VC (3.8)
Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. 3.3 es normal a BC. El giro de la barra BC está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relación a otro del mismo eslabón. Si se hubiese hallado la velocidad relativa VCB, ésta sería de sentido opuesto a la encontrada VBC.
La velocidad angular ω2, con que el eslabón 2 está girando con relación al fijo 4, se obtiene siempre dividiendo el módulo de la velocidad relativa de un punto extremo de la barra con relación al del otro extremo, por las distancia entre ambos puntos.
Tal como se observa en la figura 3.3, ω2 es del sentido de la agujas del reloj tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas VBC ó VCB y, por lo dicho, su módulo es
BC 22rVVCBCB==ω (3.9)
Si, de forma análoga, se desea determinar la velocidad angular del eslabón 3, al ser VC la velocidad absoluta de C y siendo VD = 0, VC es también la velocidad relativa de C con respecto a D; esto es, VC = VCD. En consecuencia, la velocidad angular ω3 (figura 3.2) resulta ser
CD 33rVVCCD==ω (3.10)
De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabón del mecanismo.
Análisis de la Velocidad
En esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando las propiedades de sus componentes. Sea un cuadrilátero articulado ABCD, mostrado en la Fig. 3.2, tal que la manivela de entrada o impulsora AB (eslabón 1) gira con velocidad angular ω1. El punto B tendrá una velocidad tangencial dad porVB = ω1r1 (3.6)
y que será perpendicular al eslabón AB. Esta velocidad puede descomponerse en V’BC y V“BC, de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del acoplador BC (eslabón 2) y normal a éste. Es decir:
VB = V’BC + V“BC (3.7)
Como el punto B pertenece también al eslabón 2, que al igual que los restantes es rígido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma componente de la velocidad según la dirección BC. En particular, el punto C gozará de tal propiedad. Ahora bien, el punto C también pertenece al eslabón 3 y ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevando V’CB = V’BC y trazando por el extremo de V’CB una perpendicular a BC, se obtiene VC.
La determinación de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse de forma parecida. Descompóngase VB en dos componentes: una de la dirección BE y la otra normal a ella. La componente V ’BE se traslada a E, ya que V’EB = V’BE, por ser BE indeformable (el mismo eslabón ).
De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente V’CE paralela a la dirección CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE, se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los extremos de los vectores V’EC y V’EB, respectivamente a EC y EB.
Según las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC).
Aislando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente VB y VC se transporta a C el vector VB. Como la proyección sobre BC de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación VBC, se tiene
VBC = VB – VC (3.8)
Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. 3.3 es normal a BC. El giro de la barra BC está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relación a otro del mismo eslabón. Si se hubiese hallado la velocidad relativa VCB, ésta sería de sentido opuesto a la encontrada VBC.
La velocidad angular ω2, con que el eslabón 2 está girando con relación al fijo 4, se obtiene siempre dividiendo el módulo de la velocidad relativa de un punto extremo de la barra con relación al del otro extremo, por las distancia entre ambos puntos.
Tal como se observa en la figura 3.3, ω2 es del sentido de la agujas del reloj tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas VBC ó VCB y, por lo dicho, su módulo es
BC 22rVVCBCB==ω (3.9)
Si, de forma análoga, se desea determinar la velocidad angular del eslabón 3, al ser VC la velocidad absoluta de C y siendo VD = 0, VC es también la velocidad relativa de C con respecto a D; esto es, VC = VCD. En consecuencia, la velocidad angular ω3 (figura 3.2) resulta ser
CD 33rVVCCD==ω (3.10)
De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabón del mecanismo.
DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS
Para localizar los CIR seguimos el siguiente método:
1) Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).
2) Determinar los inmediatos por simple inspección.
3) Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.
Al disponer de 4 eslabones, el número de centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura) y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente conocidos o inmediatos. Los polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez construida la figura.
Todos los centros instantáneos localizados en primera instancia se han detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y C y B, por otra.
Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.
Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes:
1. Identificar los eslabones a los que pertenecen:
a) El punto de velocidad conocida.
b) El punto de velocidad desconocida.
c) El eslabón de referencia o barra fija.
2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy.
3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida.
4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.
• Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.
Otro mecanismo de corredera está representado en la
figura 3.7, que dispone también de cuatro eslabones con un par prismático entre
los elementos 1 y 2. La construcción auxiliar de los eslabones está realizada,
en la parte derecha de la figura y se muestra que inicialmente son inmediatos
la localización de los polos P14, P34 y P23; restando encontrar otros tres
polos más.
El polo P12, al ser el elemento 2 prismático que se
desplaza por el eslabón 1, se encontrará en el infinito en la dirección
ortogonal a la barra 1. El centro instantáneo de rotación P13 se encuentra como
la intersección de las líneas definidas por los polos P12 y P23, de un lado y
P14 con P34, de otro.
El centro que resta, P24, se encuentra en la recta
BC y en la perpendicular por A al eslabón 1. De esta forma quedan establecidas
las posiciones de todos los centros instantáneos de rotación, y a partir de
ellos cabe encontrar velocidades en todo el mecanismo.
Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta
inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad
de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR,
no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos
barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones
podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece
indistintamente a cualquiera de los dos eslabones.
CURVAS POLARES
Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro.Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y configurarán la curva polar.
Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la figura 3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
La figura 3.9a muestra la curva polar
correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por
el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera
del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene
velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o
base.
POLÍGONO DE VELOCIDADES
Uno de los medios más eficaces y rápidos para el análisis de las velocidades de un mecanismo lo ofrece el polígono de velocidades. Además, como se verá en el siguiente capítulo, este método proporciona datos fundamentales para el análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas.
La construcción de velocidades de forma gráfica realmente se funda en la ecuación vectorial
VX = VA + VXA (3.14)
donde Vx es la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabón al que pertenece X y por último, VXA es la velocidad relativa de X con respecto a A. como quiera que la velocidad relativa Vxa es normal a la recta XA, el trazado de los polígonos de velocidades se realizará por aplicación de las propiedades descritas.
En la figura 3.10 puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, así como las velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB.
a) Cálculo de VC, VCB, ω2 y ω3. La ecuación se escribirá para este caso mediante
VC = VB + VCB (3.15)
Por un punto O cualquiera se lleva el vector VB y por su extremo se traza una perpendicular a BC (dirección del vector VCB) y por O una recta normal a CD (dirección de VC). Estas rectas se cortan cerrando el triángulo de los vectores implicados en la ecuación (3.15), determinándose VC y VCB.
La velocidad angular ω2 se obtiene por aplicación de la expresión
ω2 = VCB
BC
y la velocidad angular ω3, se hallaría directamente por medio de
ω3 = VC
CD
b) Cálculo de VE, VEB y VCE. En esta ocasión la ecuación (3.14) se desdobla en las dos siguientes
VE = VB + VEB (3.16)
VE = VC + VEC (3.17)
de las cuales son vectores conocidos VB y VC y de los vectores VEB y VEC son también datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector VE no se conoce ni dirección ni módulo.
ω3 = VC
CD
b) Cálculo de VE, VEB y VCE. En esta ocasión la ecuación (3.14) se desdobla en las dos siguientes
VE = VB + VEB (3.16)
VE = VC + VEC (3.17)
de las cuales son vectores conocidos VB y VC y de los vectores VEB y VEC son también datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector VE no se conoce ni dirección ni módulo.
